Rätsel Thread

Zitat von charles bukowski

O.K., wie ist denn die richtige Lösung von Teil 2.....?
Ein Kommentar dazu:
Liebe Leute,
die angegebene Lösung ist tatsächlich richtig. Und ich sollte es wissen, bin nämlich Statistik-Professor. Ich versuche es mal zu erklären.
Zunächst zur ersten Aufgabe: viele machen den Fehler, dass sie davon ausgehen, dass das erste Kind ein Junge ist. Hätte man diese Information, wären es tatsächlich 50%. Aber diese Information hat man nicht. Man weiß hingegen, dass eines der Kinder ein Junge ist. Und man weiß nicht welches. Es gibt also die Kombinationen J/J, J/M, M/J, M/M. Und jedes tritt mit der Wahrscheinlichkeit 25% auf. Da aber ausgeschlossen wird, dass es M/M ist, beträgt die Wahrscheinlichkeit für jede Variante 33%. Es geht also nicht darum, aus einem Ereignis auf ein zweites zu schließen, sondern darum, die Wahrscheinlichkeit auszurechnen, einen bestimmten Fall anzutreffen, nachdem verschiedene Fälle ausgeschlossen wurden.
Nun zur zweiten Aufgabe. Diese ist in der Tat eher schwierig. Man sehe sich mal die Matrix an. Sowohl nach unten als auch nach rechts werden je 14 Fälle aufgetragen. Junge am Montag, Junge am Dienstag, …. Mädchen am Montag, usw. Jeder der jeweils 14 Fälle tritt mit derselben Wahrscheinlichkeit auf. Es gibt also 14*14 = 196 Kombinationsmöglichkeiten. Und jede tritt mit derselben Wahrscheinlichkeit auf (1/196). Es gibt also keinen Grund anzunehmen, dass die Kombination „erstes Kind Junge am Dienstag UND zweites Kind Junge am Dienstag“ häufiger vorkommt als die anderen Kombinationen. Und genau wie bei der ersten Aufgabe werden nun verschiedene Kombinationsmöglichkeiten ausgeschlossen. Nämlich alle, in denen kein Junge an einem Dienstag geboren wurde. Es bleiben also nur noch diese 27 Möglichkeiten übrig. Und bei 13 davon ist das andere Kind ein Junge.
Das nennt man auch „bedingte Wahrscheinlichkeit“. Es ist in der Tat so, dass eine Angabe, welche keinen offensichtlichen Einfluss hat, manche Kombinationsmöglichkeiten eliminiert und daher die Statistik ändert.

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Nur weil der Herr Professor ist, hat er noch lange nicht Recht :p.

Der erste Teil ist richtig, da stimmen wir überein. Beim zweiten Teil macht auch der Herr Professor meiner Meinung nach einen typischen Denkfehler: Er geht davon aus, dass sämtliche Möglichkeiten mit der gleichen Wahrscheinlichkeiten auftreten. Das ist aber meiner Meinung nach falsch. Richtig ist zwar, dass es die 14 x 14 Kombinationsmöglichkeiten gibt, von denen bei 13 mindestens ein Junge dabei ist. Nur haben wir ja bereits in der Lösung zu Teil 1 gelernt, dass die Geschlechterverteilungen JJ, MJ, JM, und MM mit derselben Wahrscheinlichkeit auftreten (MM scheidet hier natürlich aus). Somit haben die Kombinationen JJ, JM und MJ je 1/3 Wahrscheinlichkeit. Daran ändert auch die Kenntnis über den Wochentag rein gar nichts.

Das war in Teil 1 des Rätsel schon durch.

Bei 2 Kindern gibt es die folgenden Geschlechterpasrungen (wobei wir hier das 3. Geschlecht ausklammern und grundsätzlich von einem Geburtenverhältnis 50:50 ausgehen).

JJ
JM
MJ
MM

Alle diese Paarungen treten mit der gleichen 25% Wahrscheinlichkeit auf.
MM scheidet aus, da wir wissen, dass zumindest eines der Kinder ein Junge ist. Es verbleiben somit die Möglichkeiten
JJ
JM
MJ
Mit der Wahrscheinlichkrit von jeweils 33,33%
Dass der Junge also einen älteren oder jüngeren Bruder hat, hat eine Wahrscheinlichkeit von 1/3.
Die Variante 2 unterscheidet sich vom Ursprungsrätsel nur dadurch, dass bekannt ist, dass der Junge, der uns als eines der 2 Kinder präsentiert wird, an einem Dienstag geboren wurde. Mir ist kein Grund ersichtlich, warum aufgrund dieser Zusatzinfo (an irgendeinem Tag muss der Junge ja Geburtstag haben) die Wahrscheinlichkeit für einen Bruder von einem Drittel auf fast 1/2 ansteigen soll. Zwar entfallen 13 der 27 Kombinationsmöglichkeiten mit dem Dienstag auf die Paarung JJ, aber diese Kombination hat nach wie vor die Wahrscheinlichkeit von 1/3, die Wahrscheinlichkeit für eine Schwester (älter oder jünger) beträgt 2/3, siehe oben Teil 1. Die 13 von 27 Kombinationsmöglichkeiten haben nach wie vor die Wahrscheinlichkeit von 1/3. Die Anzahl der Möglichkeiten allein sagt eben nichts über deren Wahrscheinlichkeit aus.

Heute morgen unter der Dusche (da kommen einem bekanntlich ja immer die besten Ideen) musste ich über das Thema noch einmal nachdenken. Ich glaube mittlerweile auch, dass der Professor doch Recht hat. Und little nick somit auch :o.

Zitat von little nick

Sofern man davon ausgeht, dass die Wahrscheinlichkeit, an einem ganz bestimmten Wochentag geboren zu sein 1/7 beträgt sind alle Kombinationsmöglichkeiten gleich wahrscheinlich. Es gibt keinen Grund, warum z.B. die Kombination Montag/Mittwoch wahrscheinlicher sein sollte als z.B. Samstag/Dienstag. Somit ergibt sich für mich ganz klar, wie in der Tabelle dargestellt, eine Wahrscheinlichkeit von 13/27.

Das an sich ist zwar einleuchtend. Mein Denkfehler bestand darin, dass ich an der grundsätzlichen Verteilung 1/3 Wahrscheinlichkeit Junge; 2/3 Wahrscheinlichkeit Mädchen festhielt - und eben die 13 Kombinationsmöglichkeiten JJ auf die 1/3 Wahrscheinlichkeit JJ verteilte und die übrigen 14 auf die 2/3 Wahrscheinlichkeit JM/MJ.

Tatsächlich ist da aber gar kein Widerspruch vorhanden. Denn nach wie vor machen sämtliche JJ Kombinationsmöglichkeiten (7x7 = 49) ein Drittel aller Kombinationsmöglichkeiten aus. Und die 13 Möglichkeiten, bei denen mindestens einer der Jungs an einem Dienstag geboren wurde, sind ja auch alle Teil dieses Drittels.

Die ursprüngliche 1/3 Wahrscheinlichkeit für einen Bruder bleibt tatsächlich nur bestehen, so lange der Junge, von dem wir ursprünglich wissen, ansonsten unbestimmt bleibt. Jede weitere statistische Bestimmung (z.B. Sternzeichen, Geburtstag, ggf. auch äußere Merkmale wie Haarfarbe oder Augenfarbe, solange diese mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit auftreten) führt zu einer Konkretisierung des Jungen, die die Auswahlmöglichkeiten insgesamt einschränkt - und solange man nicht weiß, ob es sich um den älteren oder jüngeren Bruder handelt, werden die Kombinationsmöglichkeiten mit einer älteren oder jüngeren Schwester in stärkerem Maße eingeschränkt, so dass am Ende fast wieder eine Wahrscheinlichkeit von 1/2 rauskommt (hier 13/27, bei Sternzeichen 23/46, bei Geburtstag 729/1459).

Zitat von little nick

Mal ein physikalisches Problem...Jörg-Friedhelm wohnt in einer Dachgeschosswohnung. Das Fenster im Giebel lässt sich nicht öffenen, deshalb muss er es von außen putzen. Unterm First hat er hierzu eine Rolle befestigt, um sich selbst mit einem Seil an der Fassade hinaufzuziehen. Er wiegt 80kg, die Rolle kann 100kg tragen. Incl. Seil etc. sollte die Rolle also halten. Nun befestigt er das Seil mit einem Ende an seinem Dachdeckergürtel, zieht am anderen Ende und hebt ab. Als er sich auf der Höhe des Fensters befindet, hängt er das Seil an einem an der Fassade befindlichen Haken ein, damit er beide Hände zum Putzen frei hat. Wird die Rolle halten?

Mein erster Gedanke hierzu war, dass letztlich ja nur die 80kg am Seil hängen und es von daher kein Problem sein sollte. Aber der erste Gedanke bei solchen Rätseln ist natürlich grundsätzlich falsch ;).

Also neuer Versuch: Ich stelle mir, dass Jörg-Friedhelm einen Helfer hat, der unten steht und ihn am Seil hochzieht. Damit der Helfer (nennen wir ihn Klaus-Peter) sich dabei nicht selbst am Seil hochzieht, muss er selbst auch mindestens soviel wiegen wie Jörg-Friedhelm. Somit lasten auf der Rolle einmal das Gewicht von Jörg-Friedhelm und auf der anderen Seite zieht Klaus-Peter mit der Kraft von genau diesem Gewicht. Also zieht an der Rolle ein Gesamtgewicht von insgesamt mehr als 160kg. Die Rolle hält also nicht und Jörg-Friedhelm landet unsanft auf dem Boden.

Im Rätsel hilft aber kein Klaus-Peter mit, sondern Jörg-Friedhelm zieht sich selbst hoch. An den Kräften, die an beiden Enden des Seils wirken, ändert sich aber nichts. Damit Jörg-Friedhelm nach oben kommt, muss er am anderen Seilende ebenfalls mit einer Kraft von mindestens 80kg ziehen. Also wirken hier ebenfalls mindestens 160kg auf die Rolle und es geht wieder nicht gut aus. Der Rolle ist es nämlich egal, ob auf der anderen Seite tatsächlich ein Gewicht hängt oder eine andere Kraft zieht (hier Jörg-Friedhelms Körperkraft).

Würde Jörg-Friedhelm die Rolle weglassen und einfach an einem Seil hochklettern, sähe es anders aus. Dann würden an dem Seil immer die 80kg Körpergewicht ziehen. Aber mit der Rolle klappt es nicht. Hier muss er sich eine suchen, die mehr als das doppelte seines Körpergewichts trägt.